Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{4} - 3 x^{2} + 5}{x^{4}} d x$

Passaggio 1

Sposta $x^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{4 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int (x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4} d x$

Passaggio 3

Espandi $(x^{4} - 3 x^{2} + 5) x^{- 4}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{4} - 3 x^{2}) x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{4} x^{- 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{4 - 4} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.4

Sottrai $4$ da $4$ .

$\int x^{0} - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int 1 - 3 x^{2} x^{- 4} + 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 - 3 x^{2 - 4} + 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.7

Sottrai $4$ da $2$ .

$\int 1 - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.8

Riordina $1$ e $- 3 x^{- 2}$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 1 + 5 x^{- 4} d x$

Passaggio 3.9

Sposta $1$ .

$\int - 3 x^{- 2} + 5 x^{- 4} + 1 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 3 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Passaggio 5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$- 3 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + \int 5 x^{- 4} d x + \int d x$

Passaggio 7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 \int x^{- 4} d x + \int d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int d x$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

$x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int d x$

Passaggio 9.2

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int d x$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$- 3 (- x^{- 1} + C) + 5 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + x + C$

Passaggio 11

Semplifica.

$\frac{3}{x} - \frac{5}{3 x^{3}} + x + C$