Calcolo Esempi

$\int \sec^{6} (x) d x$

Passaggio 1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $6$ come $4$ più $2$ .

$\int {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{4 + 2}$ come $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 1.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int {\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 1.4

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\int {(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int {(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Passaggio 4

Espandi ${(1 + u^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(1 + u^{2})}^{2}$ come $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int (1 + u^{2}) (1 + u^{2}) d u$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2}) d u$

Passaggio 4.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.5

Riordina $u^{2}$ e $1$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 u^{2} + 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.6

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int 1 + 1 u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.7

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\int 1 + u^{2} + 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.8

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 4.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 4.10

Somma $2$ e $2$ .

$\int 1 + u^{2} + u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 4.11

Somma $u^{2}$ e $u^{2}$ .

$\int 1 + 2 u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 4.12

Riordina $2 u^{2}$ e $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} + 2 u^{2} d u$

Passaggio 4.13

Sposta $1$ .

$\int u^{4} + 2 u^{2} + 1 d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{4} d u + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int 2 u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 7

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$\frac{u^{5}}{5} + \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{5} (x)}{5} + \frac{2 \tan^{3} (x)}{3} + \tan (x) + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$\frac{1}{5} \tan^{5} (x) + \frac{2}{3} \tan^{3} (x) + \tan (x) + C$