Calcolo Esempi

Valutare l'Integrale integrale della radice quadrata di x^2+4 rispetto a x
Passaggio 1
Sia , dove . Allora . Si noti che, poiché , è positivo.
Passaggio 2
Semplifica i termini.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Semplifica .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.1.1
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 2.1.1.2
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.1.2
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1.2.1
Scomponi da .
Passaggio 2.1.2.2
Scomponi da .
Passaggio 2.1.2.3
Scomponi da .
Passaggio 2.1.3
Applica l'identità pitagorica.
Passaggio 2.1.4
Riscrivi come .
Passaggio 2.1.5
Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.
Passaggio 2.2
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 2.2.2
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.2.1
Sposta .
Passaggio 2.2.2.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 2.2.2.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 2.2.2.3
Somma e .
Passaggio 3
Poiché è costante rispetto a , sposta fuori dall'integrale.
Passaggio 4
Scomponi da .
Passaggio 5
Integra per parti usando la formula , dove e .
Passaggio 6
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7
Eleva alla potenza di .
Passaggio 8
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 9
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 9.1
Somma e .
Passaggio 9.2
Riordina e .
Passaggio 10
Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi come .
Passaggio 11
Semplifica moltiplicando.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 11.1
Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.
Passaggio 11.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 11.3
Riordina e .
Passaggio 12
Eleva alla potenza di .
Passaggio 13
Eleva alla potenza di .
Passaggio 14
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 15
Somma e .
Passaggio 16
Eleva alla potenza di .
Passaggio 17
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 18
Somma e .
Passaggio 19
Dividi il singolo integrale in più integrali.
Passaggio 20
Poiché è costante rispetto a , sposta fuori dall'integrale.
Passaggio 21
L'integrale di rispetto a è .
Passaggio 22
Semplifica moltiplicando.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 22.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 22.2
Moltiplica per .
Passaggio 23
Risolvendo , troviamo che = .
Passaggio 24
Moltiplica per .
Passaggio 25
Semplifica.
Passaggio 26
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 26.1
e .
Passaggio 26.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 26.2.1
Scomponi da .
Passaggio 26.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 26.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 26.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 26.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 26.2.2.4
Dividi per .
Passaggio 27
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 28
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 28.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 28.1.1
Disegna un triangolo sul piano con i vertici , e l'origine. Poi è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso . Perciò, è .
Passaggio 28.1.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 28.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 28.1.4
Scrivi come una frazione con un comune denominatore.
Passaggio 28.1.5
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 28.1.6
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 28.1.6.1
Scomponi la potenza perfetta su .
Passaggio 28.1.6.2
Scomponi la potenza perfetta su .
Passaggio 28.1.6.3
Riordina la frazione .
Passaggio 28.1.7
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 28.1.8
e .
Passaggio 28.1.9
Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.
Passaggio 28.1.10
Combina.
Passaggio 28.1.11
Moltiplica per .
Passaggio 28.1.12
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 28.1.12.1
Disegna un triangolo sul piano con i vertici , e l'origine. Poi è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso . Perciò, è .
Passaggio 28.1.12.2
Applica la regola del prodotto a .
Passaggio 28.1.12.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 28.1.12.4
Scrivi come una frazione con un comune denominatore.
Passaggio 28.1.12.5
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 28.1.12.6
Riscrivi come .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 28.1.12.6.1
Scomponi la potenza perfetta su .
Passaggio 28.1.12.6.2
Scomponi la potenza perfetta su .
Passaggio 28.1.12.6.3
Riordina la frazione .
Passaggio 28.1.12.7
Estrai i termini dal radicale.
Passaggio 28.1.12.8
e .
Passaggio 28.1.12.9
Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.
Passaggio 28.1.13
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 28.1.14
Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.
Passaggio 28.2
Per scrivere come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per .
Passaggio 28.3
e .
Passaggio 28.4
Riduci i numeratori su un comune denominatore.
Passaggio 28.5
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 28.6
Elimina il fattore comune di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 28.6.1
Scomponi da .
Passaggio 28.6.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 28.6.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 29
Riordina i termini.