Calcolo Esempi

$\int \sqrt{x^{2} + 4} d x$

Passaggio 1

Sia

$x = 2 \tan (t)$ , dove

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora

$d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ,

$2 \sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica

$\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a

$2 \tan (t)$ .

$\int \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi

$4$ da

$4 \tan^{2} (t) + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi

$4$ da

$4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi

$4$ da

$4$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi

$4$ da

$4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi

$4 \sec^{2} (t)$ come

${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica

$\sec (t)$ per

$\sec^{2} (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta

$\sec^{2} (t)$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica

$\sec^{2} (t)$ per

$\sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Eleva

$\sec (t)$ alla potenza di

$1$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Passaggio 2.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Passaggio 2.2.2.3

Somma

$2$ e

$1$ .

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 3

Poiché

$4$ è costante rispetto a

$t$ , sposta

$4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 4

Scomponi

$\sec (t)$ da

$\sec^{3} (t)$ .

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

$u = \sec (t)$ e

$d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Passaggio 6

Eleva

$\tan (t)$ alla potenza di

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 7

Eleva

$\tan (t)$ alla potenza di

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Somma

$1$ e

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 9.2

Riordina

$\tan^{2} (t)$ e

$\sec (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Passaggio 10

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi

$\tan^{2} (t)$ come

$- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Passaggio 11

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 11.3

Riordina

$\sec (t)$ e

$- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Passaggio 12

Eleva

$\sec (t)$ alla potenza di

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 13

Eleva

$\sec (t)$ alla potenza di

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 14

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Passaggio 15

Somma

$1$ e

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Passaggio 16

Eleva

$\sec (t)$ alla potenza di

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Passaggio 17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Passaggio 18

Somma

$2$ e

$1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 19

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 20

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$t$ , sposta

$- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 21

L'integrale di

$\sec (t)$ rispetto a

$t$ è

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Passaggio 22

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 22.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Passaggio 23

Risolvendo

$\int \sec^{3} (t) d t$ , troviamo che

$\int \sec^{3} (t) d t$ =

$\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Passaggio 24

Moltiplica

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ per

$1$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Passaggio 25

Semplifica.

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 26

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.1

$4$ e

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 26.2

Elimina il fattore comune di

$4$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.2.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 26.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 26.2.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 26.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 26.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 26.2.2.4

Dividi

$2$ per

$1$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Passaggio 27

Sostituisci tutte le occorrenze di

$t$ con

$\arctan (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici

$(1, \frac{x}{2})$ ,

$(1, 0)$ e l'origine. Poi

$\arctan (\frac{x}{2})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso

$(1, \frac{x}{2})$ . Perciò,

$\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ è

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{x}{2}$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.3

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.4

Scrivi

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.6

Riscrivi

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ come

${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1.6.1

Scomponi la potenza perfetta

$1^{2}$ su

$4 + x^{2}$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.6.2

Scomponi la potenza perfetta

$2^{2}$ su

$4$ .

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.6.3

Riordina la frazione

$\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.8

$\frac{1}{2}$ e

$\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.9

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.10

Combina.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.11

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1.12.1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici

$(1, \frac{x}{2})$ ,

$(1, 0)$ e l'origine. Poi

$\arctan (\frac{x}{2})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso

$(1, \frac{x}{2})$ . Perciò,

$\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ è

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.12.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.12.3

Eleva

$2$ alla potenza di

$2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.12.4

Scrivi

$1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.12.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.12.6

Riscrivi

$\frac{4 + x^{2}}{4}$ come

${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1.12.6.1

Scomponi la potenza perfetta

$1^{2}$ su

$4 + x^{2}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.12.6.2

Scomponi la potenza perfetta

$2^{2}$ su

$4$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.12.6.3

Riordina la frazione

$\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.12.7

Estrai i termini dal radicale.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.12.8

$\frac{1}{2}$ e

$\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Passaggio 28.1.12.9

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

Passaggio 28.1.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

Passaggio 28.1.14

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

Passaggio 28.2

Per scrivere

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Passaggio 28.3

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ e

$\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Passaggio 28.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Passaggio 28.5

Sposta

$4$ alla sinistra di

$\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

Passaggio 28.6

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.6.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

Passaggio 28.6.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 28.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

Passaggio 29

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$