Calcolo Esempi

$\int \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x - 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.2

Combina.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} + \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{u + 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.6

Moltiplica $\frac{u + 1}{2 \sqrt{u}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int \frac{u + 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Espandi $(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5.7

Moltiplica $u^{- \frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

$\frac{2}{3}$ e ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 11.2

Per scrivere $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Passaggio 11.3

$2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Passaggio 11.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 11.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.5.1

Scomponi $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

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Passaggio 11.5.1.1

Sposta ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Passaggio 11.5.1.2

Scomponi $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Passaggio 11.5.1.3

Scomponi $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3)}{3} + C$

Passaggio 11.5.1.4

Scomponi $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 3)}{3} + C$

Passaggio 11.5.2

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{1} + 3)}{3} + C$

Passaggio 11.5.3

Semplifica.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1 + 3)}{3} + C$

Passaggio 11.5.4

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2)}{3} + C$

Passaggio 11.5.5

Scomponi $2$ da $2 x + 2$ .

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Passaggio 11.5.5.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2)}{3} + C$

Passaggio 11.5.5.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (1))}{3} + C$

Passaggio 11.5.5.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x + 1)}{3} + C$

Passaggio 11.5.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}{3} + C$

Passaggio 11.6

Combina.

$\frac{1 (4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{4 \cdot 3} + C$

Passaggio 11.7

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{4 \cdot 3} + C$

Passaggio 11.8

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{3} + C$

Passaggio 11.9

Moltiplica ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}{3} + C$