Calcolo Esempi

$\int x^{3} \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \sec^{3} (t) \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sec^{1} (t) \sec^{3} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Passaggio 2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\sec (t)}^{1 + 3} \tan (t) \tan (t) d t$

Passaggio 2.2.1.3

Somma $1$ e $3$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan (t) \tan (t) d t$

Passaggio 2.2.1.4

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.5

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \sec^{4} (t) (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \sec^{4} (t) {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 2.2.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$\int \sec^{4} (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\int {\sec (t)}^{2 + 2} \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi ${\sec (t)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (t) \sec^{2} (t)$ .

$\int \sec^{2} (t) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (t)$ come $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (t)) \sec^{2} (t) \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Sia $u = \tan (t)$ . Allora $d u = \sec^{2} (t) d t$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \tan (t)$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\tan (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (t)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\tan (t)$ rispetto a $t$ è $\sec^{2} (t)$ .

$\sec^{2} (t)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int (1 + u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 5

Moltiplica $(1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\int u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 6.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$\int u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int u^{4} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (t)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (t) + \frac{1}{5} \tan^{5} (t) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{3} \tan^{3} (arcsec (x)) + \frac{1}{5} \tan^{5} (arcsec (x)) + C$