Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{π}$

Passaggio 5

Calcola $- \cos (u)$ per $π$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + \cos (0))$

Passaggio 6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (π) + 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{1}{2} (- - \cos (0) + 1)$

Passaggio 7.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (- - 1 + 1)$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (1 + 1)$

Passaggio 7.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Passaggio 7.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot 2$

Passaggio 7.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1$