Calcolo Esempi

$\int 3 t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int t^{2} \sqrt{t^{3} + 2} d t$

Passaggio 2

Sia $u = t^{3} + 2$ . Allora $d u = 3 t^{2} d t$ , quindi $\frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = t^{3} + 2$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $t^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3} + 2]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{3} + 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [2]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [2]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$3 t^{2} + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $3 t^{2}$ e $0$ .

$3 t^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$3 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 3

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $\int \sqrt{u} d u$ per $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{3} + 2$ .

$\frac{2}{3} {(t^{3} + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$