Calcolo Esempi

$\int 2 x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x^{2} \sqrt[4]{5 + 4 x^{3}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 5 + 4 x^{3}$ . Allora $d u = 12 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = 5 + 4 x^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $5 + 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 + 4 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 + 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 + 4 (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$0 + 12 x^{2}$

Passaggio 2.1.4

Somma $0$ e $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$2 \int \sqrt[4]{u} \frac{1}{12} d u$

Passaggio 3

$\sqrt[4]{u}$ e $\frac{1}{12}$ .

$2 \int \frac{\sqrt[4]{u}}{12} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{12}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{12} \int \sqrt[4]{u} d u)$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{1}{12}$ e $2$ .

$\frac{2}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

Passaggio 5.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \int \sqrt[4]{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Passaggio 5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6} \int \sqrt[4]{u} d u$

Passaggio 5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{u}$ come $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{6} \int u^{\frac{1}{4}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{4}}$ rispetto a $u$ è $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi $\frac{1}{6} (\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C)$ come $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}} + C$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{6 \cdot 5} u^{\frac{5}{4}} + C$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $6$ per $5$ .

$\frac{4}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

Passaggio 7.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $30$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (2)}{30} u^{\frac{5}{4}} + C$

Passaggio 7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $30$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Passaggio 7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{15} u^{\frac{5}{4}} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 + 4 x^{3}$ .

$\frac{2}{15} {(5 + 4 x^{3})}^{\frac{5}{4}} + C$