Calcolo Esempi

$\int x \arctan (x^{2}) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \arctan (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 2

$\arctan (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \arctan (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = \arctan (u_{1})$ e $dv = 1$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

Passaggio 5

$u_{1}$ e $\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ . Allora $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} + 1]$

Passaggio 6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di ${u_{1}}^{2} + 1$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

Passaggio 6.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $1$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$2 u_{1} + 0$

Passaggio 6.1.5

Somma $2 u_{1}$ e $0$ .

$2 u_{1}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2})$

Passaggio 7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con ${u_{1}}^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {u_{1}}^{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 11.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {(x^{2})}^{2} + 1 |)) + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 12.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{2 \cdot 2} + 1 |)) + C$

Passaggio 12.1.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$

Passaggio 12.1.2

$\ln (| x^{4} + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Passaggio 12.2

Per scrivere $\arctan (x^{2}) x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Passaggio 12.3

$\arctan (x^{2}) x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

Passaggio 12.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

Passaggio 12.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\arctan (x^{2}) x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

Passaggio 12.6

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ .

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Passaggio 12.6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 12.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

Passaggio 12.7

Riordina i fattori in $\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4}$ .

$\frac{2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} (2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$