Calcolo Esempi

$\int x \arcsin (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arcsin (x)$ e $d v = x$ .

$\arcsin (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\arcsin (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 2.2

$\arcsin (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

Passaggio 4

$x^{2}$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 5

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Semplifica $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Passaggio 6.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 6.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \sin^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (t)$ come $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 13

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 13.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 13.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 13.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 13.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 13.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 14

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 15

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Passaggio 16

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 17

Semplifica.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 18

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 18.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 18.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 18.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Passaggio 19

Semplifica.

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Passaggio 19.1

$\sin (2 \arcsin (x))$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Passaggio 19.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{1}{4} \arcsin (x) - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Passaggio 19.3

$\arcsin (x)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} - \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Passaggio 19.4

Moltiplica $- \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ .

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Passaggio 19.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + 1 (\frac{1}{4}) \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Passaggio 19.4.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2} + C$

Passaggio 19.4.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4 \cdot 2} + C$

Passaggio 19.4.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \arcsin (x) x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Passaggio 19.5

$\frac{1}{2}$ e $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} x^{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Passaggio 19.6

$\frac{\arcsin (x)}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Passaggio 20

Semplifica.

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Passaggio 20.1

Riordina i fattori in $\frac{\arcsin (x) x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2} \arcsin (x)}{2} - \frac{\arcsin (x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{8} + C$

Passaggio 20.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x^{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \arcsin (x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x)) + C$