Calcolo Esempi

$\int x {(x - 1)}^{5} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int (u + 1) u^{5} d u$

Passaggio 2

Moltiplica $(u + 1) u^{5}$ .

$\int u \cdot u^{5} + 1 u^{5} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $u$ per $u^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $u$ per $u^{5}$ .

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Passaggio 3.1.1.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int u^{1} u^{5} + 1 u^{5} d u$

Passaggio 3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{1 + 5} + 1 u^{5} d u$

Passaggio 3.1.2

Somma $1$ e $5$ .

$\int u^{6} + 1 u^{5} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica $u^{5}$ per $1$ .

$\int u^{6} + u^{5} d u$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{6} d u + \int u^{5} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \int u^{5} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{7} u^{7} + C + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{1}{7} u^{7} + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{7} {(x - 1)}^{7} + \frac{1}{6} {(x - 1)}^{6} + C$