Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x^{11} {(1 + x^{12})}^{11} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + x^{12}$ . Allora $d u = 12 x^{11} d x$ , quindi $\frac{1}{12} d u = x^{11} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + x^{12}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + x^{12}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{12}]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{12}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{12}]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 12$ .

$0 + 12 x^{11}$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $12 x^{11}$ .

$12 x^{11}$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{12}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 1 + x^{12}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{12}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} u^{11} \frac{1}{12} d u$

Passaggio 2

$u^{11}$ e $\frac{1}{12}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{11}}{12} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{12}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{12}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{12} \int_{1}^{2} u^{11} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{11}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{12} u^{12}]_{1}^{2}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\frac{1}{12} u^{12}$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{12} \cdot 2^{12}) - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{12} \cdot 4096 - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Passaggio 5.2.2

$\frac{1}{12}$ e $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4096}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $4096$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $4$ da $4096$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 (1024)}{12} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 1024}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1^{12})$

Passaggio 5.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12} \cdot 1)$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} - \frac{1}{12})$

Passaggio 5.2.6

Per scrivere $\frac{1024}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{12})$

Passaggio 5.2.7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Moltiplica $\frac{1024}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{12})$

Passaggio 5.2.7.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1024 \cdot 4}{12} - \frac{1}{12})$

Passaggio 5.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1024 \cdot 4 - 1}{12}$

Passaggio 5.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Moltiplica $1024$ per $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4096 - 1}{12}$

Passaggio 5.2.9.2

Sottrai $1$ da $4096$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{4095}{12}$

Passaggio 5.2.10

Elimina il fattore comune di $4095$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Scomponi $3$ da $4095$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 (1365)}{12}$

Passaggio 5.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Passaggio 5.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot 1365}{3 \cdot 4}$

Passaggio 5.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{1365}{4}$

Passaggio 5.2.11

Moltiplica $\frac{1}{12}$ per $\frac{1365}{4}$ .

$\frac{1365}{12 \cdot 4}$

Passaggio 5.2.12

Moltiplica $12$ per $4$ .

$\frac{1365}{48}$

Passaggio 5.2.13

Elimina il fattore comune di $1365$ e $48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.13.1

Scomponi $3$ da $1365$ .

$\frac{3 (455)}{48}$

Passaggio 5.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.13.2.1

Scomponi $3$ da $48$ .

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Passaggio 5.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 455}{3 \cdot 16}$

Passaggio 5.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{455}{16}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{455}{16}$

Forma decimale:

$28.4375$

Forma numero misto:

$28 \frac{7}{16}$

Passaggio 7