Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} e^{- 4 x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = - 4 x$ . Allora $d u = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = - 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - 4 x$ .

$u_{lower} = - 4 \cdot 0$

Passaggio 1.3

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - 4 x$ .

$u_{upper} = - 4 \cdot 1$

Passaggio 1.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u_{upper} = - 4$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 4$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{0}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Passaggio 2.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{- 4} - \frac{e^{u}}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{0}^{- 4} \frac{e^{u}}{4} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{4} \int_{0}^{- 4} e^{u} d u)$

Passaggio 5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 4}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola $e^{u}$ per $- 4$ e per $0$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{0})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 4} - 1)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{4} e^{- 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Passaggio 7.2

$e^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Passaggio 7.3

Moltiplica $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$- \frac{e^{- 4}}{4} + \frac{1}{4}$

Passaggio 7.4

Sposta $e^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{4 e^{4}} + \frac{1}{4}$

Forma decimale:

$0.24542109 \dots$

Passaggio 9