Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2}}{x^{4} - 2 x^{2} - 8} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 8}$

Passaggio 1.1.1.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$\frac{x^{2}}{u^{2} - 2 u - 8}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $u^{2} - 2 u - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2$

Passaggio 1.1.1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{x^{2}}{(u - 4) (u + 2)}$

Passaggio 1.1.1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(x^{2} - 4) (x^{2} + 2)}$

Passaggio 1.1.1.5

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 2)}$

Passaggio 1.1.1.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x^{2}}{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Passaggio 1.1.3

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Passaggio 1.1.4

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.5

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2} (x - 2)) (x^{2} + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.7

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (x - 2) (x^{2} + 2)}{(x - 2) (x^{2} + 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x^{2}) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.8

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.8.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{A (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.1.2

Dividi $((A) (x - 2)) (x^{2} + 2)$ per $1$ .

$x^{2} = ((A) (x - 2)) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = (A x + A \cdot - 2) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $A$ .

$x^{2} = (A x - 2 \cdot A) (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.4

Espandi $(A x - 2 A) (x^{2} + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x (x^{2} + 2) - 2 A (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 2 - 2 A (x^{2} + 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x \cdot x^{2} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.5.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.5.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} = A (x^{2} x) + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.5.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.5.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} = A (x^{2} x) + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.5.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} = A x^{2 + 1} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.5.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + A x \cdot 2 - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $A x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 \cdot (A x) - 2 A x^{2} - 2 A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.6

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.6.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x - 2} + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.6.2

Dividi $(B) (x + 2) (x^{2} + 2)$ per $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B) (x + 2) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.7

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B x + B \cdot 2) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.8

Sposta $2$ alla sinistra di $B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + (B x + 2 \cdot B) (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.9

Espandi $(B x + 2 B) (x^{2} + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x (x^{2} + 2) + 2 B (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 2 + 2 B (x^{2} + 2) + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x \cdot x^{2} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.10.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.10.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.10.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.10.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B (x^{2} x) + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.10.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{2 + 1} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.10.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + B x \cdot 2 + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.10.2

Sposta $2$ alla sinistra di $B x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 \cdot (B x) + 2 B x^{2} + 2 B \cdot 2 + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.10.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.11

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.11.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + \frac{(C x + D) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.1.9.11.2

Dividi $(C x + D) (x + 2) (x - 2)$ per $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x + D) (x + 2) (x - 2)$

Passaggio 1.1.9.12

Espandi $(C x + D) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x (x + 2) + D (x + 2)) (x - 2)$

Passaggio 1.1.9.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x \cdot x + C x \cdot 2 + D (x + 2)) (x - 2)$

Passaggio 1.1.9.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x \cdot x + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Passaggio 1.1.9.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.13.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.13.1.1

Sposta $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C (x \cdot x) + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Passaggio 1.1.9.13.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + C x \cdot 2 + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Passaggio 1.1.9.13.2

Sposta $2$ alla sinistra di $C x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + 2 \cdot (C x) + D x + D \cdot 2) (x - 2)$

Passaggio 1.1.9.13.3

Sposta $2$ alla sinistra di $D$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + (C x^{2} + 2 C x + D x + 2 D) (x - 2)$

Passaggio 1.1.9.14

Espandi $(C x^{2} + 2 C x + D x + 2 D) (x - 2)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + D x \cdot - 2 + 2 D x + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.15

Combina i termini opposti in $C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + D x \cdot - 2 + 2 D x + 2 D \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.15.1

Riordina i fattori nei termini di $D x \cdot - 2$ e $2 D x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x - 2 D x + 2 D x + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.15.2

Somma $- 2 D x$ e $2 D x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 0 + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.15.3

Somma $C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x$ e $0$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{2} x + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.16

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.16.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.16.1.1

Sposta $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.16.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.16.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C (x \cdot x^{2}) + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.16.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{1 + 2} + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.16.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} + C x^{2} \cdot - 2 + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.16.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $C x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 \cdot (C x^{2}) + 2 C x \cdot x + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.16.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.16.3.1

Sposta $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C (x \cdot x) + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.16.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} + 2 C x \cdot - 2 + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.16.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x \cdot x + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.16.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.16.5.1

Sposta $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D (x \cdot x) + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.16.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} + 2 D \cdot - 2$

Passaggio 1.1.9.16.6

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Passaggio 1.1.9.17

Combina i termini opposti in $C x^{3} - 2 C x^{2} + 2 C x^{2} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.17.1

Somma $- 2 C x^{2}$ e $2 C x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} + 0 - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Passaggio 1.1.9.17.2

Somma $C x^{3}$ e $0$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 A x - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Passaggio 1.1.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Sposta $A$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 A x^{2} - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Passaggio 1.1.10.2

Sposta $A$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Passaggio 1.1.10.3

Riordina $B$ e $x^{3}$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 B x + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Passaggio 1.1.10.4

Sposta $B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 B x^{2} + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Passaggio 1.1.10.5

Sposta $B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + 4 B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 D$

Passaggio 1.1.10.6

Sposta $4 B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A - 4 A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.1.10.7

Sposta $- 4 A$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} - 4 C x + D x^{2} - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.1.10.8

Sposta $- 4 C x$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x B + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.1.10.9

Sposta $2 x B$ .

$x^{2} = A x^{3} + 2 x A - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.1.10.10

Sposta $2 x A$ .

$x^{2} = A x^{3} - 2 x^{2} A + B x^{3} + 2 x^{2} B + C x^{3} + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.1.10.11

Sposta $2 x^{2} B$ .

$x^{2} = A x^{3} - 2 x^{2} A + B x^{3} + C x^{3} + 2 x^{2} B + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.1.10.12

Sposta $- 2 x^{2} A$ .

$x^{2} = A x^{3} + B x^{3} + C x^{3} - 2 x^{2} A + 2 x^{2} B + D x^{2} + 2 x A + 2 x B - 4 C x - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{3}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B + C$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 2 A + 2 B + D$

Passaggio 1.2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

Passaggio 1.2.4

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.2.5

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B + C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = A + B + C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B + C = 0$ .

$A + B + C = 0$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A + C = - B$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.1.2.2

Sottrai $C$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$A = - B - C$

$1 = - 2 A + 2 B + D$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B - C$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 2 A + 2 B + D$ con $- B - C$ .

$1 = - 2 (- B - C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Semplifica $- 2 (- B - C) + 2 B + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 = - 2 (- B) - 2 (- C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$1 = 2 B - 2 (- C) + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$1 = 2 B + 2 C + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 2 B + 2 C + 2 B + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.2.1.2

Somma $2 B$ e $2 B$ .

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 2 A + 2 B - 4 C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = 2 A + 2 B - 4 C$ con $- B - C$ .

$0 = 2 (- B - C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1

Semplifica $2 (- B - C) + 2 B - 4 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = 2 (- B) + 2 (- C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.4.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 = - 2 B + 2 (- C) + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.4.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 = - 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.4.1.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1.2.1

Combina i termini opposti in $- 2 B - 2 C + 2 B - 4 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.4.1.2.1.1

Somma $- 2 B$ e $2 B$ .

$0 = - 2 C + 0 - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.4.1.2.1.2

Somma $- 2 C$ e $0$ .

$0 = - 2 C - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 2 C - 4 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.4.1.2.2

Sottrai $4 C$ da $- 2 C$ .

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = - 4 A + 4 B - 4 D$

Passaggio 1.3.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 4 A + 4 B - 4 D$ con $- B - C$ .

$0 = - 4 (- B - C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.2.6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.6.1

Semplifica $- 4 (- B - C) + 4 B - 4 D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.6.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.6.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = - 4 (- B) - 4 (- C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.2.6.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$0 = 4 B - 4 (- C) + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.2.6.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$0 = 4 B + 4 C + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 4 B + 4 C + 4 B - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.2.6.1.2

Somma $4 B$ e $4 B$ .

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$0 = - 6 C$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $C$ in $0 = - 6 C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 6 C = 0$ .

$- 6 C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.3.2

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 C = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 C = 0$ .

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 C}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.3.2.2.1.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = \frac{0}{- 6}$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.3.1

Dividi $0$ per $- 6$ .

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$C = 0$

$0 = 8 B + 4 C - 4 D$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $0$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $0 = 8 B + 4 C - 4 D$ con $0$ .

$0 = 8 B + 4 (0) - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1

Semplifica $8 B + 4 (0) - 4 D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.2.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 = 8 B + 0 - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.4.2.1.2

Somma $8 B$ e $0$ .

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$1 = 4 B + 2 C + D$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $1 = 4 B + 2 C + D$ con $0$ .

$1 = 4 B + 2 (0) + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.1

Semplifica $4 B + 2 (0) + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.4.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$1 = 4 B + 0 + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.4.4.1.2

Somma $4 B$ e $0$ .

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B - C$

Passaggio 1.3.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ in $A = - B - C$ con $0$ .

$A = - B - (0)$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Passaggio 1.3.4.6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.6.1

Sottrai $0$ da $- B$ .

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$A = - B$

$1 = 4 B + D$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Passaggio 1.3.5

Risolvi per $D$ in $1 = 4 B + D$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Riscrivi l'equazione come $4 B + D = 1$ .

$4 B + D = 1$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Passaggio 1.3.5.2

Sottrai $4 B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$0 = 8 B - 4 D$

$C = 0$

Passaggio 1.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ con $1 - 4 B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $D$ in $0 = 8 B - 4 D$ con $1 - 4 B$ .

$0 = 8 B - 4 (1 - 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Semplifica $8 B - 4 (1 - 4 B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 = 8 B - 4 \cdot 1 - 4 (- 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.6.2.1.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$0 = 8 B - 4 - 4 (- 4 B)$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.6.2.1.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$0 = 8 B - 4 + 16 B$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 8 B - 4 + 16 B$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.6.2.1.2

Somma $8 B$ e $16 B$ .

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$0 = 24 B - 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.7

Risolvi per $B$ in $0 = 24 B - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Riscrivi l'equazione come $24 B - 4 = 0$ .

$24 B - 4 = 0$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.7.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$24 B = 4$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.7.3

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 B = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.3.1

Dividi per $24$ ciascun termine in $24 B = 4$ .

$\frac{24 B}{24} = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.7.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.3.2.1

Elimina il fattore comune di $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{24 B}{24} = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.7.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{4}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.7.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.3.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.3.3.1.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$B = \frac{4 (1)}{24}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.7.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.3.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $24$ .

$B = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.7.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$B = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.7.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

$B = \frac{1}{6}$

$D = 1 - 4 B$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{1}{6}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $D = 1 - 4 B$ con $\frac{1}{6}$ .

$D = 1 - 4 (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1

Semplifica $1 - 4 (\frac{1}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$D = 1 + 2 (- 2) (\frac{1}{6})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8.2.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$D = 1 + 2 \cdot (- 2 \frac{1}{2 \cdot 3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8.2.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$D = 1 + 2 \cdot (- 2 \frac{1}{2 \cdot 3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8.2.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$D = 1 - 2 (\frac{1}{3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = 1 - 2 (\frac{1}{3})$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8.2.1.1.2

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$D = 1 + \frac{- 2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8.2.1.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$D = 1 - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = 1 - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.2.1.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$D = \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$D = \frac{3 - 2}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8.2.1.2.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$A = - B$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $\frac{1}{6}$ .

$A = - (\frac{1}{6})$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

Passaggio 1.3.8.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.8.4.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{6}$ .

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

$A = - \frac{1}{6}$

$D = \frac{1}{3}$

$B = \frac{1}{6}$

$C = 0$

Passaggio 1.3.9

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{1}{6}, D = \frac{1}{3}, B = \frac{1}{6}, C = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ , $C$ e $D$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $\frac{0 \cdot x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3}{3} \cdot \frac{0 \cdot x + \frac{1}{3}}{x^{2} + 2}$

Passaggio 1.5.1.2

Combina.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + 2)}$

Passaggio 1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{3 (0 \cdot x) + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.4.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{0 + 1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.4.3

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 x^{2} + 3 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.5

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.5.2

Scomponi $3$ da $3 \cdot 2$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (2)}$

Passaggio 1.5.5.3

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 (2)$ .

$\frac{- \frac{1}{6}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Passaggio 1.5.7

Moltiplica $\frac{1}{x + 2}$ per $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{(x + 2) \cdot 6} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Passaggio 1.5.8

Sposta $6$ alla sinistra di $x + 2$ .

$- \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{6}}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Passaggio 1.5.9

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)}$

Passaggio 1.5.10

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{x - 2}$ .

$\int - \frac{1}{6 (x + 2)} + \frac{1}{6 (x - 2)} + \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{6 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{6 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{x + 2} d x) + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = x + 2$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = x + 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{6 (x - 2)} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{x - 2} d x + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = x - 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \int \frac{1}{3 (x^{2} + 2)} d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2} + 2} d x$

Passaggio 11

Riordina $x^{2}$ e $2$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{2 + x^{2}} d x$

Passaggio 12

Riscrivi $2$ come ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}} d x$

Passaggio 13

L'integrale di $\frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} (\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ e $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$- \frac{1}{6} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C) + \frac{1}{3} (\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}} + C)$

Passaggio 14.2

Semplifica.

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

Passaggio 14.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

Passaggio 15

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 2$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$

Passaggio 15.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 2$ .

$- \frac{1}{6} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{6} \ln (| x - 2 |) + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \arctan (\frac{1}{\sqrt{2}} x) + C$