Calcolo Esempi

$\int_{1}^{7} x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 4 x^{2} + 9$ . Allora $d u = 8 x d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 4 x^{2} + 9$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $4 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $8 x$ e $0$ .

$8 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 4 x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1^{2} + 9$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 4 \cdot 1 + 9$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$u_{lower} = 4 + 9$

Passaggio 1.3.2

Somma $4$ e $9$ .

$u_{lower} = 13$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 4 x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 7^{2} + 9$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 49 + 9$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $4$ per $49$ .

$u_{upper} = 196 + 9$

Passaggio 1.5.2

Somma $196$ e $9$ .

$u_{upper} = 205$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 13$

$u_{upper} = 205$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{13}^{205} \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int_{13}^{205} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \int_{13}^{205} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{13}^{205}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $205$ e per $13$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 205^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{2}{3}$ e $205^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 13^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

$13^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{13^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3})$

Passaggio 6.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $13^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2 \cdot 205^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.2

Combina.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} (- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3})$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ nel numeratore.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Passaggio 7.3.3

Scomponi $2$ da $- 2 \cdot 13^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 (4)} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Passaggio 7.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 (- 13^{\frac{3}{2}})}{3}$

Passaggio 7.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$

Passaggio 7.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3}$

Passaggio 7.5

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Passaggio 7.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.6.1

Scomponi $2$ da $1 (2 \cdot 205^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{8 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Passaggio 7.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.6.2.1

Scomponi $2$ da $8 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Passaggio 7.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (1 \cdot (205^{\frac{3}{2}}))}{2 (4 \cdot 3)} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Passaggio 7.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 \cdot (205^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Passaggio 7.6.3

Moltiplica $205^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{4 \cdot 3} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Passaggio 7.6.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} + \frac{- 13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Passaggio 7.6.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{205^{\frac{3}{2}}}{12} - \frac{13^{\frac{3}{2}}}{12}$

Forma decimale:

$240.69009594 \dots$

Passaggio 9