Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{6}}{1 - x^{5}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = 1 - x^{5}$ .

$\frac{(1 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{(1 - x^{5}) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sposta $6$ alla sinistra di $1 - x^{5}$ .

$\frac{6 \cdot (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 - x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [- x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} - x^{6} (- \frac{d}{d x} [x^{5}])}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 1 x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 2.7.2

Moltiplica $x^{6}$ per $1$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{6} (5 x^{4})}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{6}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x^{4}$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4} x^{6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{4 + 6} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $4$ e $6$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + x^{10} \cdot 5}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 4

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{10}$ .

$\frac{6 (1 - x^{5}) x^{5} + 5 \cdot x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 (- x^{5})) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5}) x^{5} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1.2.1

Sposta $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 (- (x^{5} x^{5})) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{5 + 5}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2.3

Somma $5$ e $5$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 (- x^{10}) + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{6 x^{5} - 6 x^{10} + 5 x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Somma $- 6 x^{10}$ e $5 x^{10}$ .

$\frac{6 x^{5} - x^{10}}{{(1 - x^{5})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Riordina i termini.

$\frac{- x^{10} + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Scomponi $x^{5}$ da $- x^{10} + 6 x^{5}$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $x^{5}$ da $- x^{10}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + 6 x^{5}}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $x^{5}$ da $6 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $x^{5}$ da $x^{5} (- x^{5}) + x^{5} \cdot 6$ .

$\frac{x^{5} (- x^{5} + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Scomponi $- 1$ da $- x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) + 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Riscrivi $6$ come $- 1 (- 6)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5}) - 1 (- 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{5}) - 1 (- 6)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.9

Riscrivi $- (x^{5} - 6)$ come $- 1 (x^{5} - 6)$ .

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{5} - 6))}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{5} (x^{5} - 6)}{{(- x^{5} + 1)}^{2}}$