Calcolo Esempi

$e^{x}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = e^{x + h}$

Passaggio 2.1.2

La risposta finale è $e^{x + h}$ .

$e^{x + h}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

$f (x + h) = e^{x + h}$

$f (x) = e^{x}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - (e^{x})}{h}$

Passaggio 4

Moltiplica $- 1$ per $e^{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 5.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.1.4

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.1.5

Calcola il limite di $e^{x}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{e^{x + lim_{h \to 0} h} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{e^{x + 0} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.3

Combina i termini opposti in $e^{x + 0} - e^{x}$ .

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Passaggio 5.1.2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{e^{x} - e^{x}}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.2.3.2

Sottrai $e^{x}$ da $e^{x}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^{x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h} - e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x + h} - e^{x}$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{x + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3

Calcola $\frac{d}{d h} [e^{x + h}]$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = e^{h}$ e $g (h) = x + h$ .

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Passaggio 5.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $x$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.3.6

Moltiplica $e^{x + h}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + \frac{d}{d h} [- e^{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.4

Poiché $- e^{x}$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- e^{x}$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.5

Somma $e^{x + h}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 5.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h}}{1}$

Passaggio 5.4

Dividi $e^{x + h}$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} e^{x + h}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{h \to 0} x + h}$

Passaggio 6.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$e^{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 6.3

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$e^{x + lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 7

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$e^{x + 0}$

Passaggio 8

Somma $x$ e $0$ .

$e^{x}$

Passaggio 9