Calcolo Esempi

Trovare la Concavità f(x)=x/(x^2+1)
Passaggio 1
Find the values where the second derivative is equal to .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1
Trova la derivata prima.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.1
Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che è dove e .
Passaggio 1.1.1.2
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.2.1
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.1.2.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.1.2.3
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.2.4
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.1.2.5
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.1.2.6
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.1.2.6.1
Somma e .
Passaggio 1.1.1.2.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.1.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.1.4
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.1.5
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.1.6
Somma e .
Passaggio 1.1.1.7
Sottrai da .
Passaggio 1.1.2
Trova la derivata seconda.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.1
Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che è dove e .
Passaggio 1.1.2.2
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.2.1
Moltiplica gli esponenti in .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.2.1.1
Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, .
Passaggio 1.1.2.2.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.2.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.2.3
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.2.4
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.2.5
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.2.6
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.2.7
Somma e .
Passaggio 1.1.2.3
Differenzia usando la regola della catena, che indica che è dove e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.3.1
Per applicare la regola della catena, imposta come .
Passaggio 1.1.2.3.2
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.3.3
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.1.2.4
Differenzia.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.4.2
Secondo la regola della somma, la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.4.3
Differenzia usando la regola di potenza, che indica che è dove .
Passaggio 1.1.2.4.4
Poiché è costante rispetto a , la derivata di rispetto a è .
Passaggio 1.1.2.4.5
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.4.5.1
Somma e .
Passaggio 1.1.2.4.5.2
Sposta alla sinistra di .
Passaggio 1.1.2.4.5.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.5
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.5.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.5.3
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.1
Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.2
Riscrivi come .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.3
Espandi usando il metodo FOIL.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.3.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.3.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.3.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.4
Semplifica e combina i termini simili.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2
Somma e .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.3
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.4
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.2
Somma e .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.5
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.6
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.6.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.6.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.7
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8
Semplifica.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.1
Sposta .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.3
Somma e .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.1
Sposta .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.3
Somma e .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.9
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.9.1
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.9.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.10
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.1.1
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.1.1.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.1.1.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.1.2
Somma e .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.2
Moltiplica per .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.11
Espandi usando il metodo FOIL.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.11.1
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.11.2
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.11.3
Applica la proprietà distributiva.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12
Semplifica e combina i termini simili.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1
Semplifica ciascun termine.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1
Sposta .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3
Somma e .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.2
Moltiplica per sommando gli esponenti.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.2.1
Sposta .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2
Moltiplica per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.2.2.2
Utilizza la regola per la potenza di una potenza per combinare gli esponenti.
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.2.3
Somma e .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.2
Sottrai da .
Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.3
Somma e .
Passaggio 1.1.2.5.3.2
Somma e .
Passaggio 1.1.2.5.3.3
Sottrai da .
Passaggio 1.1.2.5.4
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.4.1
Scomponi da .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.4.1.1
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.5.4.1.2
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.5.4.1.3
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.5.4.1.4
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.5.4.1.5
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.5.4.2
Riscrivi come .
Passaggio 1.1.2.5.4.3
Sia . Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.1.2.5.4.4
Scomponi usando il metodo AC.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.4.4.1
Considera la forma . Trova una coppia di interi il cui prodotto è e la cui formula è . In questo caso, il cui prodotto è e la cui somma è .
Passaggio 1.1.2.5.4.4.2
Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.
Passaggio 1.1.2.5.4.5
Sostituisci tutte le occorrenze di con .
Passaggio 1.1.2.5.5
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.5.1
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.5.5.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.1.2.5.5.2.1
Scomponi da .
Passaggio 1.1.2.5.5.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 1.1.2.5.5.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 1.1.3
La derivata seconda di rispetto a è .
Passaggio 1.2
Imposta la derivata seconda pari a , quindi risolvi l'equazione .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.1
Imposta la derivata seconda uguale a .
Passaggio 1.2.2
Poni il numeratore uguale a zero.
Passaggio 1.2.3
Risolvi l'equazione per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.1
Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a , l'intera espressione sarà uguale a .
Passaggio 1.2.3.2
Imposta uguale a .
Passaggio 1.2.3.3
Imposta uguale a e risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.3.1
Imposta uguale a .
Passaggio 1.2.3.3.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.3.2.1
Somma a entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 1.2.3.3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Passaggio 1.2.3.3.2.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 1.2.3.3.2.3.1
Per prima cosa, utilizza il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 1.2.3.3.2.3.2
Ora, utilizza il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 1.2.3.3.2.3.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 1.2.3.4
La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono vera.
Passaggio 2
Trova il dominio di .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.1
Imposta il denominatore in in modo che sia uguale a per individuare dove l'espressione è indefinita.
Passaggio 2.2
Risolvi per .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.1
Sottrai da entrambi i lati dell'equazione.
Passaggio 2.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Passaggio 2.2.3
Riscrivi come .
Passaggio 2.2.4
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 2.2.4.1
Per prima cosa, utilizza il valore positivo di per trovare la prima soluzione.
Passaggio 2.2.4.2
Ora, utilizza il valore negativo del per trovare la seconda soluzione.
Passaggio 2.2.4.3
La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.
Passaggio 2.3
Il dominio è l'insieme di numeri reali.
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Notazione degli intervalli:
Notazione intensiva:
Passaggio 3
Crea intervalli attorno ai valori di per cui la derivata seconda è zero o indefinita.
Passaggio 4
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 4.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.2
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.2.2.2
Somma e .
Passaggio 4.2.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.2.3
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.2.3.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 4.2.3.2
Sottrai da .
Passaggio 4.2.4
Semplifica l'espressione.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 4.2.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 4.2.4.2
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 4.2.5
La risposta finale è .
Passaggio 4.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 5
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 5.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.2
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.2.2
Somma e .
Passaggio 5.2.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.3
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.3.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 5.2.3.2
Sottrai da .
Passaggio 5.2.4
Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 5.2.4.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.2.4.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 5.2.4.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 5.2.4.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 5.2.4.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 5.2.5
La risposta finale è .
Passaggio 5.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 6
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 6.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.2
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.2.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 6.2.2.2
Somma e .
Passaggio 6.2.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 6.2.3
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.3.1
Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.
Passaggio 6.2.3.2
Sottrai da .
Passaggio 6.2.4
Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.4.1
Moltiplica per .
Passaggio 6.2.4.2
Elimina il fattore comune di e .
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.4.2.1
Scomponi da .
Passaggio 6.2.4.2.2
Elimina i fattori comuni.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 6.2.4.2.2.1
Scomponi da .
Passaggio 6.2.4.2.2.2
Elimina il fattore comune.
Passaggio 6.2.4.2.2.3
Riscrivi l'espressione.
Passaggio 6.2.4.3
Sposta il negativo davanti alla frazione.
Passaggio 6.2.5
La risposta finale è .
Passaggio 6.3
Il grafico è una funzione concava sull'intervallo perché è negativo.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione concava su poiché è negativo
Passaggio 7
Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.1
Sostituisci la variabile con nell'espressione.
Passaggio 7.2
Semplifica il risultato.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.1
Moltiplica per .
Passaggio 7.2.2
Semplifica il denominatore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.2.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.2.2.2
Somma e .
Passaggio 7.2.2.3
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.2.3
Semplifica il numeratore.
Tocca per altri passaggi...
Passaggio 7.2.3.1
Eleva alla potenza di .
Passaggio 7.2.3.2
Sottrai da .
Passaggio 7.2.4
Moltiplica per .
Passaggio 7.2.5
La risposta finale è .
Passaggio 7.3
Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo perché è positivo.
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 8
Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione convessa su poiché è positivo
Funzione concava su poiché è negativo
Funzione convessa su poiché è positivo
Passaggio 9