Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $4 x^{3} - 4 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 4$ .

$12 x^{2} - 4$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$12 x^{2} = 4$

Passaggio 2.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x^{2} = 4$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{4}{12}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{12}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$x^{2} = \frac{4 (1)}{12}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.5.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $\frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt{3}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.2.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $9$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.2.1

Scomponi $9$ da $81$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.6.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 3$

Passaggio 3.1.2.1.8

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.8.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 3$

Passaggio 3.1.2.1.9

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 3$

Passaggio 3.1.2.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 3$

Passaggio 3.1.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 3$

Passaggio 3.1.2.2.3

Scrivi $3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Passaggio 3.1.2.2.4

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 3.1.2.2.5

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.1.2.2.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.1.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.1.2.4.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 27}{9}$

Passaggio 3.1.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.5.1

Sottrai $6$ da $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 27}{9}$

Passaggio 3.1.2.5.2

Somma $- 5$ e $27$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{22}{9}$

Passaggio 3.1.2.6

La risposta finale è $\frac{22}{9}$ .

$\frac{22}{9}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ è $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}) - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{3^{4}} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $9$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{81} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.6.2.1

Scomponi $9$ da $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 3$

Passaggio 3.3.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 3$

Passaggio 3.3.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 3$

Passaggio 3.3.2.1.9

Moltiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.10

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.10.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.10.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3}{3^{2}} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{3}{9}) + 3$

Passaggio 3.3.2.1.12

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.12.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 (1)}{9} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.12.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - 2 (\frac{1}{3}) + 3$

Passaggio 3.3.2.1.13

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} + \frac{- 2}{3} + 3$

Passaggio 3.3.2.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 3$

Passaggio 3.3.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 3.3.2.2.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 3$

Passaggio 3.3.2.2.3

Scrivi $3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 3.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.3.2.2.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 3 \cdot 9}{9}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6 + 27}{9}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Sottrai $6$ da $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 + 27}{9}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Somma $- 5$ e $27$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{22}{9}$

Passaggio 3.3.2.6

La risposta finale è $\frac{22}{9}$ .

$\frac{22}{9}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ è $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.67735026$ nell'espressione.

$f'' (- 0.67735026) = 12 {(- 0.67735026)}^{2} - 4$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 0.67735026$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $4$ da $5.50564064$ .

$f'' (- 0.67735026) = 1.50564064$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $1.50564064$ .

$1.50564064$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 0.67735026$ , la derivata seconda è $1.50564064$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Crescente su $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 4$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 4$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 4$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$f'' (0) = - 4$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 6.3

Per $0$ , la derivata seconda è $- 4$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Decrescente su $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.67735026$ nell'espressione.

$f'' (0.67735026) = 12 {(0.67735026)}^{2} - 4$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.67735026$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.67735026) = 12 \cdot 0.45880338 - 4$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 5.50564064 - 4$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $4$ da $5.50564064$ .

$f'' (0.67735026) = 1.50564064$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $1.50564064$ .

$1.50564064$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.67735026$ , la derivata seconda è $1.50564064$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{22}{9})$

Passaggio 9