Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x] + \frac{d}{d x} [2017]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (- 72 x) + \frac{d}{d x} (2017)$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 72$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 72 x$ rispetto a $x$ è $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2017)$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2017)$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 72$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 + \frac{d}{d x} (2017)$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.5.1

Poiché $2017$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2017$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $6 x^{2} - 24 x - 72$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 24 x - 72$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} - 24 x - 72$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} - 24 x - 72 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} - 24 x - 72$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 24 x - 72 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $6$ da $- 24 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 4 x) - 72 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $6$ da $- 72$ .

$6 x^{2} + 6 (- 4 x) + 6 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 (- 4 x)$ .

$6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} - 4 x) + 6 \cdot - 12$ .

$6 (x^{2} - 4 x - 12) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 4 x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 6, 2$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$6 ((x - 6) (x + 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 6) (x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 6) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 6, - 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $2 x^{3} - 12 x^{2} - 72 x + 2017$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 6$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $6$ .

$2 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $216$ .

$432 - 12 {(6)}^{2} - 72 \cdot 6 + 2017$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$432 - 12 \cdot 36 - 72 \cdot 6 + 2017$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $36$ .

$432 - 432 - 72 \cdot 6 + 2017$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 72$ per $6$ .

$432 - 432 - 432 + 2017$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $432$ da $432$ .

$0 - 432 + 2017$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $432$ da $0$ .

$- 432 + 2017$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $- 432$ e $2017$ .

$1585$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 2$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $x$ per $- 2$ .

$2 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$- 16 - 12 {(- 2)}^{2} - 72 \cdot - 2 + 2017$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 16 - 12 \cdot 4 - 72 \cdot - 2 + 2017$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $4$ .

$- 16 - 48 - 72 \cdot - 2 + 2017$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- 72$ per $- 2$ .

$- 16 - 48 + 144 + 2017$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $48$ da $- 16$ .

$- 64 + 144 + 2017$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 64$ e $144$ .

$80 + 2017$

Passaggio 4.2.2.2.3

Somma $80$ e $2017$ .

$2097$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(6, 1585), (- 2, 2097)$

Passaggio 5