Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} - 15 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 6 x^{2} - 15 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 12 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 12 x - 15 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x - 15$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} + 12 x - 15$ .

$3 x^{2} + 12 x - 15$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 12 x - 15 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} + 12 x - 15 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 12 x - 15$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 12 x - 15 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3$ da $12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (4 x) - 15 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $3$ da $- 15$ .

$3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (4 x)$ .

$3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot - 5 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot - 5$ .

$3 (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 4 x - 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 5$ e la cui somma è $4$ .

$- 1, 5$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$3 ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 1) (x + 5) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 1) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 1, - 5$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} + 6 x^{2} - 15 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${(1)}^{3} + 6 {(1)}^{2} - 15 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 6 {(1)}^{2} - 15 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + 6 \cdot 1 - 15 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$1 + 6 - 15 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$1 + 6 - 15$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $1$ e $6$ .

$7 - 15$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $15$ da $7$ .

$- 8$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 5$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 5$ a $x$ .

${(- 5)}^{3} + 6 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$- 125 + 6 {(- 5)}^{2} - 15 \cdot - 5$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- 125 + 6 \cdot 25 - 15 \cdot - 5$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $6$ per $25$ .

$- 125 + 150 - 15 \cdot - 5$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 15$ per $- 5$ .

$- 125 + 150 + 75$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $- 125$ e $150$ .

$25 + 75$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $25$ e $75$ .

$100$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(1, - 8), (- 5, 100)$

Passaggio 5