Calcolo Esempi

$f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 20 x + 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.4

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.6

Moltiplica $- 20$ per $1$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Passaggio 1.1.2.9

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

$- 20 + 10 x = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 2.3.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.3.2.3

Non c'è soluzione per $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.4

Imposta $- 20 + 10 x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $- 20 + 10 x$ uguale a $0$ .

$- 20 + 10 x = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $- 20 + 10 x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $20$ a entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = 20$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = 20$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = 20$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{20}{10}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.2.2.3.1

Dividi $20$ per $10$ .

$x = 2$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ vera.

$x = 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 2$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $- 20$ per $2$ .

$e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $5$ per $4$ .

$e^{1 - 40 + 20}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $40$ da $1$ .

$e^{- 39 + 20}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $- 39$ e $20$ .

$e^{- 19}$

Passaggio 4.1.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{19}}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(2, \frac{1}{e^{19}})$

Passaggio 5