Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $12 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (- 1)$ .

$12 x^{2} (x - 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x^{2} (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $3 x^{4} - 4 x^{3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 - 4 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 1$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

$3 {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 - 4 {(1)}^{3}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$3 - 4 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$3 - 4$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $4$ da $3$ .

$- 1$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (1, - 1)$

Passaggio 5