Calcolo Esempi

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin^{2} (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$2 \cos (x) \sin (x) - \sin (x)$

Passaggio 1.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x)$

Passaggio 1.4.2.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Passaggio 1.4.2.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sin (2 x) - \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (2 x) - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - \cos (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Passaggio 5

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scomponi $\sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $\sin (x)$ da $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 5.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 7

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 7.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 7.2.5

La soluzione dell'equazione $x = 0$ .

$x = 0, π$

Passaggio 8

Imposta $2 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $2 \cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 8.2

Risolvi $2 \cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \cos (x) = 1$

Passaggio 8.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (x) = 1$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 8.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 8.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 8.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 8.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 8.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 8.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 8.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 8.2.7

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \cos (2 (0)) - \cos (0)$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$2 \cos (0) - \cos (0)$

Passaggio 11.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (0)$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - \cos (0)$

Passaggio 11.1.4

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Passaggio 11.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 - 1$

Passaggio 11.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$1$

Passaggio 12

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sin^{2} (0) + \cos (0)$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (0) = 0^{2} + \cos (0)$

Passaggio 13.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + \cos (0)$

Passaggio 13.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 0 + 1$

Passaggio 13.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 13.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda per $x = π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \cos (2 (π)) - \cos (π)$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (0) - \cos (π)$

Passaggio 15.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 \cdot 1 - \cos (π)$

Passaggio 15.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 - \cos (π)$

Passaggio 15.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 - - \cos (0)$

Passaggio 15.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$2 - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.1.6

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$2 - - 1$

Passaggio 15.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 + 1$

Passaggio 15.2

Somma $2$ e $1$ .

$3$

Passaggio 16

$x = π$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = π$ è un minimo locale

Passaggio 17

Trova il valore di y quando $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π$ nell'espressione.

$f (π) = \sin^{2} (π) + \cos (π)$

Passaggio 17.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (π) = \sin^{2} (0) + \cos (π)$

Passaggio 17.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (π) = 0^{2} + \cos (π)$

Passaggio 17.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (π) = 0 + \cos (π)$

Passaggio 17.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (π) = 0 - \cos (0)$

Passaggio 17.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (π) = 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 17.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (π) = 0 - 1$

Passaggio 17.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (π) = - 1$

Passaggio 17.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \cos (2 (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 19

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.1

$2$ e $\frac{π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 19.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 19.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 19.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 19.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 19.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 19.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Passaggio 19.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 19.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 19.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 19.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Passaggio 19.5.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Passaggio 19.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 20

$x = \frac{π}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 21

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = \sin^{2} (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 21.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 21.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 21.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 21.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 21.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 21.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 21.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 21.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 21.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 21.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Passaggio 21.2.2

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 21.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 21.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Passaggio 21.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Passaggio 21.2.5

Somma $3$ e $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{5}{4}$

Passaggio 21.2.6

La risposta finale è $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Passaggio 22

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 \cos (2 (\frac{5 π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 23

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.1

Moltiplica $2 (\frac{5 π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.1.1

$2$ e $\frac{5 π}{3}$ .

$2 \cos (\frac{2 (5 π)}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 23.1.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$2 \cos (\frac{10 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 23.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$2 \cos (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 23.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$2 (- \cos (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 23.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 23.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 23.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{- 1}{2}) - \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 23.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 - \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 23.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 1 - \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 23.1.7

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$- 1 - \frac{1}{2}$

Passaggio 23.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 23.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 23.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Passaggio 23.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 23.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 - 1}{2}$

Passaggio 23.5.2

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$\frac{- 3}{2}$

Passaggio 23.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 24

$x = \frac{5 π}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 25

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{3}$ .

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Passaggio 25.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{3}) = \sin^{2} (\frac{5 π}{3}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 25.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 25.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \sin (\frac{π}{3}))}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.3

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 25.2.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = 1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}) + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.5

Moltiplica $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 25.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 25.2.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.6.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{2^{2}} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 25.2.1.8

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 25.2.1.9

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}$

Passaggio 25.2.2

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 25.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 25.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 25.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3}{4} + \frac{2}{4}$

Passaggio 25.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{3 + 2}{4}$

Passaggio 25.2.5

Somma $3$ e $2$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5}{4}$

Passaggio 25.2.6

La risposta finale è $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Passaggio 26

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos (x)$ .

$(0, 1)$ è un minimo locale

$(π, - 1)$ è un minimo locale

$(\frac{π}{3}, \frac{5}{4})$ è un massimo locale

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5}{4})$ è un massimo locale

Passaggio 27