Calcolo Esempi

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x - 3}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $27$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{3^{3} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $27$ .

$\frac{27 - 27}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $27$ da $27$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 27$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 27$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{1 + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2}}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $3 x^{2}$ per $1$ .

$lim_{x \to 3} 3 x^{2}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$3 lim_{x \to 3} x^{2}$

Passaggio 2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $3$ per $x$ .

$3 \cdot 3^{2}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$3^{1} \cdot 3^{2}$

Passaggio 4.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3^{1 + 2}$

Passaggio 4.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$3^{3}$

Passaggio 4.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27$