Calcolo Esempi

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{x^{2} - 16}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - 16}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 16}$

Passaggio 1.1.3.1.3

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 1 \cdot 16}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{0}{4^{2} - 1 \cdot 16}$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.3.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sottrai $16$ da $16$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{x^{2} - 16} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}$

Passaggio 1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Passaggio 1.3.8

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x + 0}$

Passaggio 1.3.9

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 4} \frac{1}{x}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} x}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 4} x}$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{8}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{8}$

Forma decimale:

$0.125$