Calcolo Esempi

$y = 2 x + 24$ , $y = x^{2}$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$2 x + 24 = x^{2}$

Passaggio 1.2

Risolvi $2 x + 24 = x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x + 24 - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $- 1$ da $2 x + 24 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Sposta $24$ .

$2 x - x^{2} + 24 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Riordina $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x + 24 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 2 x + 24 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 24 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Riscrivi $24$ come $- 1 (- 24)$ .

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 24 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 24)$ .

$- (x^{2} - 2 x - 24) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 24$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 24$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 6, 4 + y = x^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 6) (x + 4) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0 + y = x^{2}$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 6) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 6, - 4$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $6$ .

$y = {(6)}^{2}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $6$ per $x$ in $y = {(6)}^{2}$ e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 6^{2}$

Passaggio 1.3.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$y = 36$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 4$ .

$y = {(- 4)}^{2}$

Passaggio 1.4.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$y = 16$

Passaggio 1.5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(6, 36)$

$(- 4, 16)$

$(6, 36)$

$(- 4, 16)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 4}^{6} 2 x + 24 d x - \int_{- 4}^{6} x^{2} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 4}^{6} 2 x + 24 - (x^{2}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $x^{2}$ .

$\int_{- 4}^{6} 2 x + 24 - x^{2} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 4}^{6} 2 x d x + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Passaggio 3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{- 4}^{6} x d x + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Passaggio 3.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + \int_{- 4}^{6} 24 d x + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Passaggio 3.7

Applica la regola costante.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} + \int_{- 4}^{6} - x^{2} d x$

Passaggio 3.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} - \int_{- 4}^{6} x^{2} d x$

Passaggio 3.9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{6})$

Passaggio 3.10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{6}) + 24 x]_{- 4}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{6})$

Passaggio 3.10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $6$ e per $- 4$ .

$2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 x]_{- 4}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{6})$

Passaggio 3.10.2.2

Calcola $24 x$ per $6$ e per $- 4$ .

$2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{6})$

Passaggio 3.10.2.3

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $6$ e per $- 4$ .

$2 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.2

Elimina il fattore comune di $36$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.2.2.4

Dividi $18$ per $1$ .

$2 (18 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$2 (18 - \frac{16}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.4

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (18 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (18 - \frac{8}{1}) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.4.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$2 (18 - 1 \cdot 8) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$2 (18 - 8) + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.6

Sottrai $8$ da $18$ .

$2 \cdot 10 + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.7

Moltiplica $2$ per $10$ .

$20 + 24 \cdot 6 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.8

Moltiplica $24$ per $6$ .

$20 + 144 - 24 \cdot - 4 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.9

Moltiplica $- 24$ per $- 4$ .

$20 + 144 + 96 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.10

Somma $144$ e $96$ .

$20 + 240 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.11

Somma $20$ e $240$ .

$260 - ((\frac{6^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.12

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$260 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.13

Elimina il fattore comune di $216$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.13.1

Scomponi $3$ da $216$ .

$260 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.13.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$260 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$260 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$260 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.13.2.4

Dividi $72$ per $1$ .

$260 - (72 - \frac{{(- 4)}^{3}}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.14

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$260 - (72 - \frac{- 64}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$260 - (72 - - \frac{64}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.16

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$260 - (72 + 1 (\frac{64}{3}))$

Passaggio 3.10.2.4.17

Moltiplica $\frac{64}{3}$ per $1$ .

$260 - (72 + \frac{64}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.18

Per scrivere $72$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$260 - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{64}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.19

$72$ e $\frac{3}{3}$ .

$260 - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{64}{3})$

Passaggio 3.10.2.4.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$260 - \frac{72 \cdot 3 + 64}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.21

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.21.1

Moltiplica $72$ per $3$ .

$260 - \frac{216 + 64}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.21.2

Somma $216$ e $64$ .

$260 - \frac{280}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.22

Per scrivere $260$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$260 \cdot \frac{3}{3} - \frac{280}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.23

$260$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{260 \cdot 3}{3} - \frac{280}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{260 \cdot 3 - 280}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.25

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.4.25.1

Moltiplica $260$ per $3$ .

$\frac{780 - 280}{3}$

Passaggio 3.10.2.4.25.2

Sottrai $280$ da $780$ .

$\frac{500}{3}$

Passaggio 4