Calcolo Esempi

$y = x^{3}$ , $y = 4 x$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{3} = 4 x$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{3} = 4 x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 4 x = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 1.2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 1.2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0 + y = 4 x$

Passaggio 1.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $0$ .

$y = 4 (0)$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Risolvi $y$ quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci $x$ per $- 2$ .

$y = 4 (- 2)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$y = - 8$

Passaggio 1.5

Risolvi $y$ quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci $x$ per $2$ .

$y = 4 (2)$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = 8$

Passaggio 1.6

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

$(0, 0)$

$(- 2, - 8)$

$(2, 8)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 2}^{0} x^{3} d x - \int_{- 2}^{0} 4 x d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $- 2$ e $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - (4 x) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int_{- 2}^{0} x^{3} - 4 x d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

Passaggio 3.4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - 4 x d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 \int_{- 2}^{0} x d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{0})$

Passaggio 3.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Passaggio 3.7.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Calcola $\frac{1}{4} x^{4}$ per $0$ e per $- 2$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{0})$

Passaggio 3.7.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $0$ e per $- 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 16 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.4

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$0 - 16 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.5

$- 16$ e $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 16}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6

Elimina il fattore comune di $- 16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.6.1

Scomponi $4$ da $- 16$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.6.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{- 4}{1} - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.6.2.4

Dividi $- 4$ per $1$ .

$0 - 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.7

Sottrai $4$ da $0$ .

$- 4 - 4 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 4 - 4 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.9.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- 4 - 4 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 4 - 4 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 4 - 4 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.10

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{4}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.11

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.11.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2})$

Passaggio 3.7.2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)})$

Passaggio 3.7.2.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1})$

Passaggio 3.7.2.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 4 - 4 (0 - \frac{2}{1})$

Passaggio 3.7.2.3.11.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$- 4 - 4 (0 - 1 \cdot 2)$

Passaggio 3.7.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 4 - 4 (0 - 2)$

Passaggio 3.7.2.3.13

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 4 - 4 \cdot - 2$

Passaggio 3.7.2.3.14

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$- 4 + 8$

Passaggio 3.7.2.3.15

Somma $- 4$ e $8$ .

$4$

Passaggio 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 4 x d x - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{2} 4 x - (x^{3}) d x$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 1$ per $x^{3}$ .

$\int_{0}^{2} 4 x - x^{3} d x$

Passaggio 5.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{2} 4 x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Passaggio 5.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Passaggio 5.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Passaggio 5.6

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - x^{3} d x$

Passaggio 5.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - \int_{0}^{2} x^{3} d x$

Passaggio 5.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2})$

Passaggio 5.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Passaggio 5.9.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $2$ e per $0$ .

$4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2})$

Passaggio 5.9.2.2

Calcola $\frac{x^{4}}{4}$ per $2$ e per $0$ .

$4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$4 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 (2 - \frac{0}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$4 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (2 - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$4 (2 - 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$4 (2 + 0) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.6

Somma $2$ e $0$ .

$4 \cdot 2 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.7

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.8

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$8 - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.9

Elimina il fattore comune di $16$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.9.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.9.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.9.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$8 - (4 - \frac{0^{4}}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$8 - (4 - \frac{0}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.11

Elimina il fattore comune di $0$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.11.1

Scomponi $4$ da $0$ .

$8 - (4 - \frac{4 (0)}{4})$

Passaggio 5.9.2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.3.11.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 5.9.2.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Passaggio 5.9.2.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 - (4 - \frac{0}{1})$

Passaggio 5.9.2.3.11.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$8 - (4 - 0)$

Passaggio 5.9.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$8 - (4 + 0)$

Passaggio 5.9.2.3.13

Somma $4$ e $0$ .

$8 - 1 \cdot 4$

Passaggio 5.9.2.3.14

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$8 - 4$

Passaggio 5.9.2.3.15

Sottrai $4$ da $8$ .

$4$

Passaggio 6

Somma $4$ e $4$ .

$8$

Passaggio 7