Calcolo Esempi

$2 x^{2} + y^{2} = 17$ , $(2, 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 2$ e $y = 3$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (17)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

Passaggio 1.2.4

Riordina i termini.

$2 y y' + 4 x$

Passaggio 1.3

Poiché $17$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $17$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' + 4 x = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 1.5.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' = - 4 x$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = - 4 x$ e semplifica.

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Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $2 y$ ciascun termine in $2 y y' = - 4 x$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Passaggio 1.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Passaggio 1.5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 2$ e $y = 3$ .

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Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$- \frac{2 (2)}{y}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $3$ nell'espressione.

$- \frac{2 (2)}{3}$

Passaggio 1.7.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{4}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- \frac{4}{3}$ e un punto dato $(2, 3)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (2))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2)$

Passaggio 2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.4

$x$ e $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

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Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 2 (\frac{4}{3})$

Passaggio 2.3.1.5.2

$2$ e $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3}$

Passaggio 2.3.1.6

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3$

Passaggio 2.3.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 2.3.2.3

$3$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 2.3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.3.2.5.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 + 9}{3}$

Passaggio 2.3.2.5.2

Somma $8$ e $9$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{17}{3}$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{17}{3}$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{17}{3}$

Passaggio 3