Calcolo Esempi

$y = \frac{7 x}{x - 3}$ , $(6, 14)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 6$ e $y = 14$ per trovare il coefficiente angolare della linea tangente.

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Passaggio 1.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7 x}{x - 3}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 3$ .

$7 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x - 3$ per $1$ .

$7 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$7 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$7 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$7 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$7 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$7 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.4.1

Sottrai $3$ da $0$ .

$7 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$7 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Passaggio 1.3.6.4.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$- 7 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.5

$- 7$ e $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 7 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.6.1

Moltiplica $- 7$ per $3$ .

$\frac{- 21}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{21}{{(x - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.4

Calcola la derivata per $x = 6$ .

$- \frac{21}{{((6) - 3)}^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Sottrai $3$ da $6$ .

$- \frac{21}{3^{2}}$

Passaggio 1.5.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{21}{9}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $21$ e $9$ .

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Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $3$ da $21$ .

$- \frac{3 (7)}{9}$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$- \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{7}{3}$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula di punto-pendenza e risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Usa il coefficiente angolare $- \frac{7}{3}$ e un punto dato $(6, 14)$ da inserire al posto di $x_{1}$ e $y_{1}$ nell'equazione della retta passante per due punti $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione della pendenza $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (14) = - \frac{7}{3} \cdot (x - (6))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila in forma di punto-pendenza.

$y - 14 = - \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.3.1

Semplifica $- \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi.

$y - 14 = 0 + 0 - \frac{7}{3} \cdot (x - 6)$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 14 = - \frac{7}{3} x - \frac{7}{3} \cdot - 6$

Passaggio 2.3.1.2.2

$x$ e $\frac{7}{3}$ .

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} - \frac{7}{3} \cdot - 6$

Passaggio 2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{3}$ nel numeratore.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot - 6$

Passaggio 2.3.1.2.3.2

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot (3 (- 2))$

Passaggio 2.3.1.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + \frac{- 7}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Passaggio 2.3.1.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} - 7 \cdot - 2$

Passaggio 2.3.1.2.4

Moltiplica $- 7$ per $- 2$ .

$y - 14 = - \frac{x \cdot 7}{3} + 14$

Passaggio 2.3.1.3

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$y - 14 = - \frac{7 x}{3} + 14$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 2.3.2.1

Somma $14$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{7 x}{3} + 14 + 14$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $14$ e $14$ .

$y = - \frac{7 x}{3} + 28$

Passaggio 2.3.3

Scrivi in forma $y = m x + b$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Riordina i termini.

$y = - (\frac{7}{3} x) + 28$

Passaggio 2.3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{7}{3} x + 28$

Passaggio 3