Calcolo Esempi

${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$2 \frac{x + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Passaggio 2

$2$ e $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x + 1)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8.3

Moltiplica $\frac{2 (x + 1)}{x - 1}$ per $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Moltiplica $x - 1$ per ${(x - 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $x - 1$ per ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.3.2

Combina i termini opposti in $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.3.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(2 x + 2) (- 1 - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.3.4

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$\frac{(2 x + 2) \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot - 2 + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.3.6

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 4 x + 2 \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{- 4 x - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.4

Scomponi $4$ da $- 4 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) - 4}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.4.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.4.3

Scomponi $4$ da $4 (- x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{4 (- x - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{4 (- (x) - 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{4 (- (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.8

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{4 (- 1 (x + 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 6.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 (x + 1)}{{(x - 1)}^{3}}$