Calcolo Esempi

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Passaggio 1

Riscrivi ${(x - 4)}^{2}$ come $(x - 4) (x - 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)]$

Passaggio 2

Espandi $(x - 4) (x - 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Passaggio 3.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)]$

Passaggio 3.2

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - 8 x + 16$ e $g (x) = 4 x - 4$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [4 x - 4] + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Passaggio 5.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Passaggio 5.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Passaggio 5.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 + 0) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Passaggio 5.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) \cdot 4 + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Passaggio 5.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2} - 8 x + 16$ .

$4 \cdot (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$

Passaggio 5.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 x + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 5.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 5.9

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 5.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 5.11

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16])$

Passaggio 5.12

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8 + 0)$

Passaggio 5.13

Somma $2 x - 8$ e $0$ .

$4 (x^{2} - 8 x + 16) + (4 x - 4) (2 x - 8)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x - 8)$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + (4 x - 4) (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + (4 x - 4) \cdot - 8$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 4 (- 8 x) + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Passaggio 6.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.5.1

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 4 \cdot 16 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Passaggio 6.5.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 4 x (2 x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x \cdot x - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Passaggio 6.5.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Passaggio 6.5.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 (x^{1} x^{1}) - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Passaggio 6.5.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{1 + 1} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Passaggio 6.5.7

Somma $1$ e $1$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 4 (2 x) + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Passaggio 6.5.8

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x + 4 x \cdot - 8 - 4 \cdot - 8$

Passaggio 6.5.9

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x - 4 \cdot - 8$

Passaggio 6.5.10

Moltiplica $- 4$ per $- 8$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 8 x - 32 x + 32$

Passaggio 6.5.11

Sottrai $32 x$ da $- 8 x$ .

$4 x^{2} - 32 x + 64 + 8 x^{2} - 40 x + 32$

Passaggio 6.5.12

Somma $4 x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 32 x + 64 - 40 x + 32$

Passaggio 6.5.13

Sottrai $40 x$ da $- 32 x$ .

$12 x^{2} - 72 x + 64 + 32$

Passaggio 6.5.14

Somma $64$ e $32$ .

$12 x^{2} - 72 x + 96$