Calcolo Esempi

$e^{3 \ln (x^{2})}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 \ln (x^{2})$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 \ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 \ln (x^{2})$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [3 \ln (x^{2})]$

Passaggio 2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \ln (x^{2})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2}$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (3 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{x^{2}}$ e $3$ .

$e^{3 \ln (x^{2})} (\frac{3}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4.2

$\frac{3}{x^{2}}$ e $e^{3 \ln (x^{2})}$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 4.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.4.1

$2$ e $\frac{3 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ .

$\frac{2 (3 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}} x$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}} x$

Passaggio 4.4.3

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x^{2}}$ e $x$ .

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})} x}{x^{2}}$

Passaggio 4.4.4

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 4.4.4.1

Scomponi $x$ da $6 e^{3 \ln (x^{2})} x$ .

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x^{2}}$

Passaggio 4.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.4.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Passaggio 4.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (6 e^{3 \ln (x^{2})})}{x \cdot x}$

Passaggio 4.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 e^{3 \ln (x^{2})}}{x}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $3 \ln (x^{2})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\frac{6 e^{\ln ({(x^{2})}^{3})}}{x}$

Passaggio 5.1.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\frac{6 {(x^{2})}^{3}}{x}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 x^{2 \cdot 3}}{x}$

Passaggio 5.1.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x^{6}}{x}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ e $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $x$ da $6 x^{6}$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x^{1}}$

Passaggio 5.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Passaggio 5.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (6 x^{5})}{x \cdot 1}$

Passaggio 5.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 x^{5}}{1}$

Passaggio 5.2.2.5

Dividi $6 x^{5}$ per $1$ .

$6 x^{5}$