Calcolo Esempi

$2 x \ln (8 x) + x$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x \ln (8 x) + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x \ln (8 x)]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \ln (8 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (8 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (8 x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (8 x)] + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} (8 \cdot 1)) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $8$ per $1$ .

$2 (x (\frac{1}{8 x} \cdot 8) + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.8

$\frac{1}{8 x}$ e $8$ .

$2 (x \frac{8}{8 x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.9

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 2.9.1

Elimina il fattore comune.

$2 (x \frac{8}{8 x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.10

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.11

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.11.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.11.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (1 + \ln (8 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.12

Moltiplica $\ln (8 x)$ per $1$ .

$2 (1 + \ln (8 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (8 x)) + 1$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (8 x) + 1$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 \ln (8 x) + 1$

Passaggio 4.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$2 \ln (8 x) + 3$