Calcolo Esempi

$\tan (\ln (a x + b))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ è $f' (g (a)) g' (a)$ dove $f (a) = \tan (a)$ e $g (a) = \ln (a x + b)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (a x + b)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (a x + b)$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) \frac{d}{d a} [\ln (a x + b)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ è $f' (g (a)) g' (a)$ dove $f (a) = \ln (a)$ e $g (a) = a x + b$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d a} [a x + b])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $a x + b$ .

$\sec^{2} (\ln (a x + b)) (\frac{1}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{a x + b}$ e $\sec^{2} (\ln (a x + b))$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} \frac{d}{d a} [a x + b]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x + b$ rispetto a $a$ è $\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (\frac{d}{d a} [a x] + \frac{d}{d a} [b])$

Passaggio 3.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $a x$ rispetto a $a$ è $x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ è $n a^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b])$

Passaggio 3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + \frac{d}{d a} [b])$

Passaggio 3.6

Poiché $b$ è costante rispetto a $a$ , la derivata di $b$ rispetto a $a$ è $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} (x + 0)$

Passaggio 3.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.7.1

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b} x$

Passaggio 3.7.2

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$ e $x$ .

$\frac{\sec^{2} (\ln (a x + b)) x}{a x + b}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i fattori in $\sec^{2} (\ln (a x + b)) x$ .

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{a x + b}$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$\frac{x \sec^{2} (\ln (a x + b))}{b + a x}$