Calcolo Esempi

$\frac{r}{\sqrt{r^{2} + 1}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{r^{2} + 1}$ come ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ è $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ dove $f (r) = r$ e $g (r) = {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(r^{2} + 1)}^{1}}$

Passaggio 4

Semplifica.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{r^{2} + 1}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ e $g (r) = r^{2} + 1$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $r^{2} + 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $r^{2} + 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{{(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 11.3

Sposta ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 11.4

$\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1]}{r^{2} + 1}$

Passaggio 12

Secondo la regola della somma, la derivata di $r^{2} + 1$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [1])}{r^{2} + 1}$

Passaggio 14

Poiché $1$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $1$ rispetto a $r$ è $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0)}{r^{2} + 1}$

Passaggio 15

Riduci le frazioni.

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Passaggio 15.1

Somma $2 r$ e $0$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r)}{r^{2} + 1}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 1}$

Passaggio 15.3

$- 2$ e $\frac{r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r}{r^{2} + 1}$

Passaggio 15.4

$\frac{- 2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $r$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r \cdot r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 16

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r)}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 17

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (r^{1} r^{1})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 18

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{1 + 1}}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 19

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 r^{2}}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 20

Scomponi $2$ da $- 2 r^{2}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 21

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 21.1

Scomponi $2$ da $2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 ({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 21.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- r^{2})}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 21.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 22

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 23

Per scrivere ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 25

Moltiplica ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 25.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 25.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 25.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 25.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 26

Semplifica ${(r^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{\frac{r^{2} + 1 - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 27

Sottrai $r^{2}$ da $r^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 28

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Passaggio 29

Riscrivi $\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$ come un prodotto.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 1}$

Passaggio 30

Moltiplica $\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{r^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 1)}$

Passaggio 31

Moltiplica ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $r^{2} + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1

Moltiplica ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $r^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1.1

Eleva $r^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{1}}$

Passaggio 31.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 31.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 31.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 31.4

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$