Calcolo Esempi

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (x) \cos (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 4

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 5

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Passaggio 8

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Passaggio 9

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Passaggio 10

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Passaggio 11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 12

Somma $1$ e $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Passaggio 13.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Passaggio 13.3

Riscrivi $4 \cos^{2} (x)$ come ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Passaggio 13.4

Riscrivi $4 \sin^{2} (x)$ come ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Passaggio 13.5

Riordina $- {(2 \sin (x))}^{2}$ e ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Passaggio 13.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 \cos (x)$ e $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Passaggio 13.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Passaggio 13.8

Espandi $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 13.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Passaggio 13.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Passaggio 13.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 13.9

Combina i termini opposti in $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1

Riordina i fattori nei termini di $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ e $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 13.9.2

Somma $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ e $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 13.9.3

Somma $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ e $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 13.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.10.1

Moltiplica $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.10.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 13.10.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 13.10.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 13.10.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 13.10.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 13.10.2

Moltiplica $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.10.2.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Passaggio 13.10.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Passaggio 13.10.2.3

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Passaggio 13.10.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Passaggio 13.10.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$