Calcolo Esempi

$y = \ln (x^{2} e^{x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} e^{x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.2.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 5.2.2

$\frac{x^{2}}{x^{2} e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x}}{e^{x}} + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 5.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{1}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Passaggio 5.2.5

$e^{x}$ e $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ .

$1 + \frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

Passaggio 5.2.6

$2$ e $\frac{e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ .

$1 + \frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

Passaggio 5.2.7

$\frac{2 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ e $x$ .

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 5.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{2 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Passaggio 5.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{2 x}{x^{2}}$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 5.2.9.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$1 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Passaggio 5.2.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.9.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Passaggio 5.2.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$1 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Passaggio 5.2.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$1 + \frac{2}{x}$

Passaggio 5.3

Riordina i termini.

$\frac{2}{x} + 1$