Calcolo Esempi

$\frac{5 x}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x}{1 + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$5 \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $1 + x^{2}$ per $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 7

Somma $1$ e $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$5 \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 9

$5$ e $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{5 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{5 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{5 - 5 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 10.3

Riordina i termini.

$\frac{- 5 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$