Calcolo Esempi

$y = \frac{5 x - 2}{4 x + 3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 5 x - 2$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x - 2] - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(4 x + 3) (5 + 0) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.1

Somma $5$ e $0$ .

$\frac{(4 x + 3) \cdot 5 - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Sposta $5$ alla sinistra di $4 x + 3$ .

$\frac{5 \cdot (4 x + 3) - (5 x - 2) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.12.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - (5 x - 2) \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{5 (4 x + 3) - 4 (5 x - 2)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x - 2)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x) - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1

Combina i termini opposti in $5 (4 x) + 5 \cdot 3 - 4 (5 x) - 4 \cdot - 2$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Riordina i fattori nei termini di $5 (4 x)$ e $- 4 (5 x)$ .

$\frac{4 \cdot 5 x + 5 \cdot 3 - 4 \cdot 5 x - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Sottrai $4 \cdot 5 x$ da $4 \cdot 5 x$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 0 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $5 \cdot 3$ e $0$ .

$\frac{5 \cdot 3 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{15 - 4 \cdot - 2}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$\frac{15 + 8}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Somma $15$ e $8$ .

$\frac{23}{{(4 x + 3)}^{2}}$