Calcolo Esempi

$y = {(x + 3)}^{2} e^{4 x}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(x + 3)}^{2}$ come $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) e^{4 x}]$

Passaggio 2

Espandi $(x + 3) (x + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 3) + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Passaggio 3.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 x + 3 x + 9) e^{4 x}]$

Passaggio 3.2

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} + 6 x + 9$ e $g (x) = e^{4 x}$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Passaggio 6.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Passaggio 6.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}$ .

$4 \cdot ((x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Passaggio 6.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 6.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 6.6

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 6.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 6.8

Moltiplica $6$ per $1$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 6.9

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + 0)$

Passaggio 6.10

Somma $2 x + 6$ e $0$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Passaggio 7.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica $6$ per $4$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Passaggio 7.4.3

Sposta $6$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + 6 \cdot e^{4 x}$

Passaggio 7.4.4

Somma $24 x e^{4 x}$ e $e^{4 x} (2 x)$ .

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Passaggio 7.4.4.1

Sposta $e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 2 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

Passaggio 7.4.4.2

Somma $24 x e^{4 x}$ e $2 x e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

Passaggio 7.4.5

Somma $36 e^{4 x}$ e $6 e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$

Passaggio 7.5

Riordina i termini.

$4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$

Passaggio 7.6

Riordina i fattori in $4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$