Calcolo Esempi

$\ln (\sqrt[5]{x})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x}$ come $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{5}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1})$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}})$

Passaggio 7.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}})$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}})$

Passaggio 9

$\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ per $\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ .

$\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5}$

Passaggio 11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 11.1

Sposta $5$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5 \cdot x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 11.2

Sposta $x^{- \frac{4}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 x^{\frac{1}{5}} x^{\frac{4}{5}}}$

Passaggio 12

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 12.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{5}}$ per $x^{\frac{4}{5}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.1.1

Sposta $x^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{1}{5 (x^{\frac{4}{5}} x^{\frac{1}{5}})}$

Passaggio 12.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}}}$

Passaggio 12.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{5 x^{\frac{4 + 1}{5}}}$

Passaggio 12.1.4

Somma $4$ e $1$ .

$\frac{1}{5 x^{\frac{5}{5}}}$

Passaggio 12.1.5

Dividi $5$ per $5$ .

$\frac{1}{5 x^{1}}$

Passaggio 12.2

Semplifica $5 x^{1}$ .

$\frac{1}{5 x}$