Calcolo Esempi

$x^{e^{x}}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{e^{x}}$ come $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{e^{x}})$ spostando $e^{x}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{x} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} \ln (x)$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 5

$e^{x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.2.1

$e^{e^{x} \ln (x)}$ e $\frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $e^{e^{x} \ln (x)}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.2.3.1

Sposta $e^{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x} e^{e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 7.2.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 7.2.4

Per scrivere $e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Passaggio 7.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} + e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

$\frac{e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$