Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = a x + b$ e $g (x) = c x + d$ .

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a x + b$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a x$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $a$ per $1$ .

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $b$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Somma $a$ e $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $c x + d$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Poiché $c$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $c x$ rispetto a $x$ è $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Moltiplica $c$ per $1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Poiché $d$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $d$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 2.12

Somma $c$ e $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Combina i termini opposti in $c x a + d a - (a x) c - b c$ .

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Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori nei termini di $c x a$ e $- (a x) c$ .

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $a c x$ da $a c x$ .

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Somma $d a$ e $0$ .

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$