Calcolo Esempi

$x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2} = 6$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x^{2} y + 4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 4 (2 y y')$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $2$ per $4$ .

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + 8 y y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y'$

Passaggio 3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' + 2 x y + 8 y y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} y' + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $x^{2} y' + 8 y y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 8 y y' = - 3 x^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $8 y y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (x^{2}) + y' (8 y)$ .

$y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$

Passaggio 5.3

Dividi per $x^{2} + 8 y$ ciascun termine in $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $x^{2} + 8 y$ ciascun termine in $y' (x^{2} + 8 y) = - 3 x^{2} - 2 x y$ .

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 8 y$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} + 8 y)}{x^{2} + 8 y} = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 8 y} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $x$ da $- 3 x^{2} - 2 x y$ .

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Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $x$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) - 2 x y}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- 3 x) + x (- 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Scomponi $x$ da $x (- 3 x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 3 x - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (3 x) - (2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 5.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 5.3.3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.6.1

Riscrivi $- (3 x + 2 y)$ come $- 1 (3 x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (3 x + 2 y))}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x + 2 y)}{x^{2} + 8 y}$