Calcolo Esempi

$\tan (\frac{x}{y}) = x + y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Passaggio 2.5

$\sec^{2} (\frac{x}{y})$ e $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 + y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 1 + y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = (1 + y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y + \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = (1 + y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.3.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = (1 + y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3.2

Riordina i fattori in $\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3.3

Sposta $x$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.3.4

Riordina $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ e $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $(1 + y') y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 1 y^{2} + y' y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y^{2} + y' y^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Riordina $y^{2}$ e $y' y^{2}$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y' y^{2} + y^{2}$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $y' y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y'$ da $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y'$ da $- y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $- 1 y^{2}$ come $- y^{2}$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Passaggio 5.3.6

Dividi per $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ ciascun termine in $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Dividi per $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ ciascun termine in $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Passaggio 5.3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.3.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Passaggio 5.3.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.1

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} - \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Passaggio 5.3.6.3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Passaggio 5.3.6.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.2.1.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Passaggio 5.3.6.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $- y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Passaggio 5.3.6.3.2.1.3

Scomponi $y$ da $y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))$ .

$y' = \frac{y (y - 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Passaggio 5.3.6.3.2.2

Riscrivi $- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ come $- \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Passaggio 5.3.6.3.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y^{2}}$

Passaggio 5.3.6.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})}$

Passaggio 5.3.6.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Passaggio 5.3.6.3.3.4

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.3.3.4.1

Riscrivi $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ come $- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Passaggio 5.3.6.3.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$