Calcolo Esempi

$5 y^{2} = \frac{4 x - 3}{4 x + 3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x - 3}{4 x + 3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 (y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$10 y y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 4 x - 3$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 3] - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{(4 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $4 x + 3$ .

$\frac{4 \cdot (4 x + 3) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.1

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Combina i termini opposti in $4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Sottrai $4 (4 x)$ da $4 (4 x)$ .

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Somma $4 \cdot 3$ e $0$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 3$ .

$\frac{12 + 12}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Somma $12$ e $12$ .

$\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5

Dividi per $10 y$ ciascun termine in $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $10 y$ ciascun termine in $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Passaggio 5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Passaggio 5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{1}{10 y}$

Passaggio 5.3.2

Combina.

$y' = \frac{24 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $24$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $2$ da $24 \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $2$ da ${(4 x + 3)}^{2} (10 y)$ .

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{12 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (5 y)}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Moltiplica $12$ per $1$ .

$y' = \frac{12}{{(4 x + 3)}^{2} \cdot 5 y}$

Passaggio 5.3.4.2

Sposta $5$ alla sinistra di ${(4 x + 3)}^{2}$ .

$y' = \frac{12}{5 \cdot {(4 x + 3)}^{2} y}$

Passaggio 5.3.4.3

Riordina i fattori in $\frac{12}{5 {(4 x + 3)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$