Calcolo Esempi

$e^{y} \cos (x) = 6 + \sin (x y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{y} \cos (x)) = \frac{d}{d x} (6 + \sin (x y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{y}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{y} y'$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 + \sin (x y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$0 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$0 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y)$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Passaggio 3.3.2

Somma $0$ e $\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$ .

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Passaggio 3.3.3

Riordina i termini.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$ .

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Passaggio 5.3

Sottrai $x y' \cos (x y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Passaggio 5.4

Somma $e^{y} \sin (x)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Passaggio 5.5

Scomponi $y'$ da $y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y)$ .

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Passaggio 5.5.1

Scomponi $y'$ da $y' e^{y} \cos (x)$ .

$y' (e^{y} \cos (x)) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $y'$ da $- x y' \cos (x y)$ .

$y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $y'$ da $y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Passaggio 5.6

Dividi per $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ ciascun termine in $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ e semplifica.

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Passaggio 5.6.1

Dividi per $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ ciascun termine in $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ .

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ .

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Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.6.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$