Calcolo Esempi

$x y = \cot (x y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (\cot (x y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $y$ per $1$ .

$x y' + y$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\cot (u)$ rispetto a $u$ è $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y)$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y$

Passaggio 3.6.2

Riordina i termini.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x y' + y = - x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$ .

$x y' + y = - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y)$

Passaggio 5.2

Somma $x y' \csc^{2} (x y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + y + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y)$

Passaggio 5.3

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Passaggio 5.4

Scomponi $x y'$ da $x y' + x y' \csc^{2} (x y)$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $x y'$ da $x y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $x y'$ da $x y' \csc^{2} (x y)$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $x y'$ da $x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y)$ .

$x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Passaggio 5.5

Dividi per $x (1 + \csc^{2} (x y))$ ciascun termine in $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $x (1 + \csc^{2} (x y))$ ciascun termine in $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ .

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $1 + \csc^{2} (x y)$ .

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Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.5.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$