Calcolo Esempi

$f (x) = 13 x^{4} - 78 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $13 x^{4} - 78 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [13 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $13 x^{4}$ rispetto a $x$ è $13 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$13 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $13$ .

$52 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 78$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 78 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$52 x^{3} - 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$52 x^{3} - 78 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 78$ .

$f' (x) = 52 x^{3} - 156 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $52 x^{3} - 156 x$ .

$52 x^{3} - 156 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $52 x^{3} - 156 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$52 x^{3} - 156 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $52 x$ da $52 x^{3} - 156 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $52 x$ da $52 x^{3}$ .

$52 x (x^{2}) - 156 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $52 x$ da $- 156 x$ .

$52 x (x^{2}) + 52 x (- 3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $52 x$ da $52 x (x^{2}) + 52 x (- 3)$ .

$52 x (x^{2} - 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} - 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 2.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.5.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $52 x (x^{2} - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $13 x^{4} - 78 x^{2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$13 {(0)}^{4} - 78 {(0)}^{2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$13 \cdot 0 - 78 {(0)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $13$ per $0$ .

$0 - 78 {(0)}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 78 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 78$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\sqrt{3}$ a $x$ .

$13 {(\sqrt{3})}^{4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$13 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$13 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$13 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$13 \cdot 3^{2} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$13 \cdot 9 - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $13$ per $9$ .

$117 - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$117 - 78 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$117 - 78 \cdot 3^{1}$

Passaggio 4.2.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$117 - 78 \cdot 3$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- 78$ per $3$ .

$117 - 234$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $234$ da $117$ .

$- 117$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- \sqrt{3}$ a $x$ .

$13 {(- \sqrt{3})}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$13 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$13 (1 {\sqrt{3}}^{4}) - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{4}$ per $1$ .

$13 {\sqrt{3}}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$13 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$13 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$13 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.4.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$13 \cdot 3^{2} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$13 \cdot 9 - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.6

Moltiplica $13$ per $9$ .

$117 - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.7

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$117 - 78 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

Passaggio 4.3.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$117 - 78 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

Passaggio 4.3.2.1.9

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$117 - 78 {\sqrt{3}}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.10

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$117 - 78 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 4.3.2.1.10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.3.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.3.2.1.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$117 - 78 \cdot 3^{1}$

Passaggio 4.3.2.1.10.5

Calcola l'esponente.

$117 - 78 \cdot 3$

Passaggio 4.3.2.1.11

Moltiplica $- 78$ per $3$ .

$117 - 234$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $234$ da $117$ .

$- 117$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (\sqrt{3}, - 117), (- \sqrt{3}, - 117)$

Passaggio 5